Asummetron

Asummetron Yunanca'da ortak ölçülemezlik anlamına gelen bir matematik terimi olarak kullanılmıştır. Ortak ölçülemezliği ilk defa Pythagorasçılar √2 münasebetiyle keşfettiler. Dik üçgenler için bulmuş oldukları meşhur Pythagoras Teoremini, eşit kenarlarının uzunluğu 1 olan ikizkenar dik üçgene uyguladıklarında, hipotenüsün değerini √2 olarak buldular; bu ise onların sayı anlayışına göre bir sayı, yani rasyonel bir sayı değildi, çünkü hipotenüs ile dik kenarları tam olarak ölçen bir birim bulamamışlardı, hipotenüs ile dik kenarlar ortak ölçüsüzdü.​

​

Matematik tarihindeki ilk ispat örneklerinden birisi olarak, √2'nin sayı olmadığını ispatladılar. Aristoteles'e göre, Pythagorasçılar bu ispatı reductio ad absürdüm (olmayana ergi) yöntemiyle, yani dolaylı yoldan yapmışlardı: Hipotenüsün bir dik kenara oranı p/q olsun. Bu oran en yalın halinde olsun. Bu, p ve q'nun ikisinin birden çift veya tek olamayacağı, birisinin çift diğerinin ise tek olabileceği anlamına gelir. √2 = p/q , p**2 = 2q**2 (p kare eşittir 2q kare) olur. Bu durumda p**2 ve dolayısıyla p çift bir sayıdır. Bu yüzden q tek olmak zorundadır. P çift olduğundan, p= 2r olarak gösterilebilir. O zaman 2q**2 = 4r**2 ve q**2= 2r**2 olur. Bu durumda q da çift olmak zorundadır. Fakat p/q oranı en yalın halindeydi, oysa hem p hem q çift bulundu, bu başlangıçtaki kabul ile bir çelişki oluşturur, dolayısıyla √2'nin p/q oranı şeklinde ifade edilmesi mümkün değildir.​

​

​

√2'nin sayı olmadığını anlamaları, Pythagorasçıların matematik felsefelerinin temelini oluşturan sayı ve oran kavramı için önemli bir tehdit oluşturmuştur. Eğer, daha bir üçgenin kenarlarından birisi ya da birden fazla kenarı ölçülemiyorsa, kenarlar arasındaki oransal ilişkiden nasıl söz edilebilirdi? Aynı türden geometrik büyüklüklerin ortak ölçüsüz olmasını, onlar önce korkunç bir sır olarak saklamak gerektiğini düşündüler, bunun açıklanmasını yasakladılar. Ancak, Pythagorasçı Hippasus bu sırrı saklayamadı ve sıradan insanlara açıkladı; onun bu davranışı cezasız kalmamış ve o bir gemi kazasında boğularak öldürülmüştür.​

​

√2'nin irrasyonelliğinin anlaşılması, yani ortak ölçüsüz büyüklüklerin bulunması matematikte bilinen ilk bunalım olmuştur. Bu durumda Pythagorasçılar sayı kavrayışlarını genişletme yoluna giderek bu bunalımdan çıkmayı düşünmemişler, sayılar kuramını reddederek geometride bir sentez arayışıyla çözüm bulmaya çalışmışlardır. O zamana kadar, geometrik şekillerin birer doğal sayıya karşılık geldiği inancıyla, sayı ile geometri arasında özdeşlik ilişkisi kuran Pythagorasçılar, bundan sonra bu özdeşlikten vazgeçmişlerdir.​

​

Pythagorasın izleyicileri hipotenüs ile dik kenarın ya da kenarlarının uzunluğu 1 olan karenin köşegeni ile kenarının ortak ölçüsüz olduklarını biliyorlardı, ancak bu irrasyonelliğin karenin ya da dik üçgenin bir özelliği olduğunu düşünmüşlerdi. Platon Theaetetus adlı diyalogunda, Kirene'li Theodoros'un (M.Ö. 425) (Protagoras’ın bir öğrencisi ve Platon'un hocası), kare köklerin irrasyonelliğinin √2 ile sınırlı olmadığını kavrayarak bu araştırmaları daha ileriye götürmüş olduğunu ve √3'ün, √5'in ve √17'ye kadar ki köklerin irrasyonelliğinı ispatladığını bildirmiştir. Thaetetus (M. Ö. 375), ikinci dereceden irrasyoneller için genel bir kuramın temellerini kurmuştur. Euclides (M.Ö. 300) ise, bu konuda son önemli adımı atarak, kare kökleri sınıflandırmış ve dördüncü dereceden irrasyoneller fikrini sunmuştur.​

​

Felsefi açıdan bu keşifler sayının doğasına ve aritmetik ile geometri arasındaki ilişkiye değin ciddi sorunlara yol açmıştır. Ortak ölçülemezlik bir geometri problemi olarak başlamış ve büyük ölçüde de öyle kalmıştır. Ortak ölçülemezliğin keşfinin yani sıra, Elea'lı Parmenides'in öğrencisi Zenon'un (M.Ö. 450) ortaya koyduğu sonsuz küçük ve sonsuz büyükle ilgili paradokslar da matematiğin bu ilk bunalımını güçlendirmiştir. Ortak ölçülemezlik bunalımına karşı geliştirilen tepkilerden birisi, Aristoteles'in desteklediği bir tavır olarak sayı ve nesneler arasında ayırım yapmak ve böylece geometriyi aritmetikten ayırmaktı. Akademi'nin desteklediği diğer bir tepki ise, 2'nin kökünü sayı ailesine dahil etmekti.​

​

Bütün gayretlere rağmen, matematiğin bu ilk bunalımdan çıkması kolay olmamıştır. Platon'un Akademisinin bir üyesi olan Eudoxus'un (M. Ö. 4. yüzyıl) büyüklük ve orantı kuramı üzerine çalışmalarıyla, bu problem bir ölçüde çözülmüştü. Eudoxus, sayılar ve büyüklükler arasında ayırım yapmış ve sayılar cinsinden ifade edilebilen büyüklüklerin oranları üzerine tanım ve teoremler ortaya koymuştur. Üçgenin hipotenüsü artık iki sayının oranına eşit bir uzunluk olarak düşünülmek yerine, bir büyüklük olarak düşünülmeye başlanmıştır. Ona göre, ancak aynı cins büyüklükler mukayese edilebilirler ve aralarında orantılı olabilirlerdi. Yani, uzunluklar uzunluklarla, alanlar alanlarla ve hacimler hacimlerle mukayese edilebilirdi. Uzunluklarla alanlar farkh cinsten büyüklükler olduğu için, mukayese edilemezlerdi. Bundan sonra, sayı kuramını geometriden ayırma pahasına da olsa, irrasyonel sayılardan kaynaklanan problemlerden uzak durulmuştur. Aritmetik ve geometri arasında oluşturulan bu uçurum, ancak 17. yüzyılda kapatılacaktır.​

​

R. C. Archibald, "Outline of the History of Mathematics", American Mathematical Monthly, Cilt 56, Sayı 1, 1949.​

​

Cajori, A History af Mathematics, London 1931.​

​

Ftegg, Numbers, Penguin Books, 1984.​

​

T. Heath, A History of Greek Mathematics, Cilt 1, Oxford 1921.​

​

M. Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford Universty Press, 1972.​

​

W. J. Reichmann, The Spell of Mathematics, Penguin Books, 1972.​

​

D. E. Smith, History of Mathematics, Cilt U, Dover Publications, 1958.​

​

C. Yıldırım, Matematiksel Düşünme, Remzi Kitap evi, 1988.​

​

Ayrıca bkz., MATEMATİK, MATEMATİK TARİHİ, PHYTAGORASÇILAR.​

​

Felsefe Ansiklopedisi / Etik Yayınları​