Aksiyomatik Yöntem

Aksiyomatik Yöntem, en genel anla mıyla belirli bir bilgi alanını, en az sayıda terimle ifade edilmiş yasalar (aksiyom) altında toplayarak ve bu alana ait tüm diğer bilgileri (teoremleri) bu yasalardan mantıksal olarak türeterek inceleme yöntemidir. Aksiyomatik yöntem yaklaşımıyla inşa edilen sistemlere fiksiyomatik sistem adı verilir.​

​

Aksiyomatik Sistemlerin Genel Özellikleri:​

​

Aksiyomatik sistemlerin kurulabilmesi için gerekli olan dört adım vardır:​

​

(1) Sistemin Söz Dağarcığı (vokabüleri): Sistemde kullanılacak o alana özgü başlıca terimlerin neler olduklarının belirlenmesi ve tanımlanması gerekir. Ancak tanımlama işleminin bir döngüselliğe düşmemesi için, diğer tüm terimlerin tanımlanabilmesine zemin oluşturan, ancak tam da bu nedenle kendilerinin tanımlanmadan kabul edildiği terimlere gerek vardır. Bunlara sistemin tammlmımmıuş (ilksel) terimleri denilir. Örneğin geometride, "doğru çizgi"yi "düzlemde iki nokta arasındaki en kısa yol" diye, "düzlem"i de "doğru çizgi" terimiyle tanımlayabiliriz. Bu şekilde ilerleyerek tüm geometrik şekilleri tanımlayabiliriz. Ancak "doğru çizgi" tanımının dayandığı "nokta" terimini geriye doğru giderek tanımlama çabası sonu olmayan bir gidiştir. Çünkü bu durumda "nokta" teriminin tanımlanmasında kullanılacak terimin de başka bir terimle tanımlanması gerekir. Bu yüzden, örneğin "nokta" teriminin ilksel bir terim olduğu kabul edilebilir.​

​

Oluşum Kuralları: Bu kurallar, terimlerin (ilksel veya tanımlanmış) nasıl bir araya getirilerek ifadeleri (veya önermeleri) oluşturacağını belirler. Eğer terimlerimiz simgeler değil de, günlük dilin terimleriyse, bu oluşum kuralları gramer kurallarıdır. Eğer sistemin terimleri simgelerden meydana gelmiş ise, simgelerin düzgün bir ifade oluşturacak, yani düzgün oluşturulmuş deyimler olacak şekilde dizilebilmeleri için sistemin oluşum kurallarının belirlenmesi gerekir.​

​

Aksiyomlar: Aksiyomlar, sistemin oluşum kurallarına uygun olarak onun terimleriyle (ilksel veya tanımlanmış) oluşturulmuş başlangıç ilkeleri veya ilk önermeleridir. Sistemin tüm diğer ifadeleri veya teoremleri bu aksiyomlara dayanılarak kanıtlanır. Kanıtlama işleminin döngüsel olmaması için, tıpkı terimlerin tanımlanmasında sonsuz geri gidişi durdurabilmek için ilksel terimlerin seçilmesinin gerekli olduğu gibi, kanıtlamaya zemin oluşturacak ifadelerin (veya önermelerin) kendilerinin kanıtlanmadan kabul edilmeleri gerekir.​

​

Dönüşüm veya çıkarım kuralları: Bu kurallar, aksiyomlardan hareketle teoremlerin nasıl türelilebileceğinin ve kanıtlanabileceğini belirleyen çıkarım kurallarıdır. Bunlar mantık kurallarıdır.​

​

Böylelikle, aksiyomatik sistemler, az sayıda tanımlanmamış terim (ilksel terim) ve kanıtlanmadan kabul edilen az sayıda aksiyomdan hareketle, belirli oluşum ve dönüşüm (çıkarım) kuralları aracılığıyla o sistemin teoremlerinin mantıksal olarak kanıtlanabilmelerini olanaklı kılan sistemlerdir.​

​

İçerikli aksiyomatik sistem ile saf biçimsel ya da formel sistem arasında bir ayrım yapmak gerekir. Mantıksal açıdan saf biçimsel sistem, içerikli olana önceliklidir; ama tarihsel olarak öncelik, Eukleides geometrisinin ilk aksiyomatik sistem olduğunu göz önüne aldığımızda içerikli olandadır. Saf biçimsel sistemin terimleri içeriksiz, yani yorumlanmamış simgelerdir: x, y, ..R gibi. Bu simgelerden bazıları tanımsız olarak kabul edilir. Böylelikle diğer simgeler onlar aracılığıyla tanımlanır. Tanımlanmamış terimler aracılığıyla, kanıtlanmadan kabul edilen ilksel önermeler, yani aksiyomlar ifade edilir. Bu aksiyomlardan kalkarak oluşum, dönüşüm ve çıkarım kuralları aracılığıyla sistemin kanıtlanan önermelerine, yani teoremlere ulaşılır. Böylece, saf biçimsel düzlemde oluşturulmuş olan bir sistem, mantıksal olarak sağlam sonuçlara, yani bir teoremler grubuna ulaşmaya olanak verir. (Bu sistemlerin mantıksal sağlamlılığı için gerekli olan üç koşulu, yani tutarlılık, tamlık ve aksiyomların bağımsızlığı koşullarını aşağıda ele alacağız). Saf biçimsel aksiyomatik sistemlerin ilksel terimlerini, yani simgelerini farklı şekillerde ve farklı bilimlerin terimleriyle yorumlamak suretiyle içerikli aksiyomatik sistemlere ulaşabiliriz. Bir biçimsel sistemin ilksel terimlerinin yorumlanmasıyla ele edilen içerikli sistemlere, o biçimsel sistemin modelleri adı verilir.​

​

Şimdi önce saf biçimsel bir aksiyomatik sisteme basit bir örnek verelim ve sonra da bunun olanaklı modellerine bakalım.​

​

A x, y, z gibi ilksel terimler ve R gibi ikili bir bağıntıdan oluşan bir K kümesi düşünelim. Eğer x, y ile bir R bağıntısında ise, bunu kısaca x R y yazacağız; eğer x, y ile R bağıntısında değilse, bunu da x ~R y diye yazacağız. Eğer x ile y ayni ise x = y, ayni değilse x #(eşit değil) y yazacağız. Bu K sisteminin aksiyomları ise aşağıdaki gibidir:​

​

Aks.1: Eğer x r y ise, ya x R y 'dir veya y R x 'tir, ama ikisi birden değil.​

Aks.2: Eğer x R y ise x r y 'dir.​

Aks.3: Eğer x R y ve y R z ise, x R z 'dir.​

Aks.4: K lam dört farklı öğeden oluşur.​

​

Şimdi bu aksiyomlar ve bilindiğini varsaydığımız Modus Ponens gibi çıkarım kuralları ve Reductio ad absurdum gibi çıkarım ve ispat yöntemleri aracılığıyla T harfiyle göstereceğimiz bazı teoremlere kanıtlayalım, veya başka bir deyişle bu teoremlerin, aksiyomlardan ve çıkarım kurallarından nasıl saf mantıksal işlemler aracılığıyla çıkarıldıklarını görelim. İleride D harfiyle göstereceğimiz bazı tanımlar vereceğiz ve bunları da teoremlerin ifadesinde kullanacağız.​

​

T1: Eğer x R y ise, y ~R x 'dir.​

​

İspat: Hem x R y , hem de y R x olduğunu kabul edelim. Bu durumda Aks.3 gereği x R x olması gerekirdi. Oysa Aks.2 dikkate alındığında bu bağıntı bizi x #(eşit değil) x sonucuna, yani bir çelişkiye götürür ki, Reductio ad absurdum yoluyla T1 kanıtlanmış olur.​

​

T2: Eğer x R y ise ve z, K'de bulunuyorsa, ya x R z 'dir veya z R y 'dir.​

​

İspat: Eğer z = x ise, z R y 'dir ki, bu zaten istenilen sonuçtur. Eğer z x ise, Aks.1 ile ya x R z veya z R x 'dir. Eğer z R x ise, T2'de x R y verilmiş olduğundan Aks.3 ile z R y 'yi elde ederiz.​

Bundan sonraki birkaç teoremi ispatsız olarak verelim.​

​

T3: K'de en az öyle bir öğe vardır ki, K'nin diğer bir öğesi ile R bağıntısı içinde değildir​

T4: K'de, K'nin diğer öğeleriyle R bağıntısı içinde olmayan sadece bir öğe vardır.​

D1: Eğer y R x ise, bunu x S y olarak tanımlıyoruz.​

T5: Eğer x S y ve y S z ise, x S z 'dir.​

​

İspat: D1 ile y R x ve z R y veriliyor. Aks.3 ile z R x 'i veya D1 ile x D z 'yi elde ederiz.​

​

D2: Eğer x R y ise ve K'de x R z ve z R y'yi sağlayan bir z öğesi yoksa, bunu x B y olarak tanımlıyoruz.​

T6: Eğer x B z ve y B z ise, x = y 'dir.​

T7: Eğer x B y ve y B z ise, x ~B z 'dir.​

D3: Eğer x B y ve y B z ise, x G z 'dir.​

​

Bu sistemden daha pek çok teorem elde etme olanağı vardır.​

​

Şimdi yukarıda verdiğimiz saf biçimsel sistemin terimlerinin yorumlanması aracılığıyla bu sistemden hareketle elde edilebilecek olan bazı modelleri örnekleyelim.​

​

Birinci model, soy ağacı modeli olsun. Bu modelde K'nın öğelerini bir adam, onun babası, onun babasının babası ve onun babasının babasının babası olarak ve R bağıntısını da "atası olma" olarak yorumlayalım. Bu modelde​

Aks1: Eğer bir adam ve o adamdan başka bir öğe (adam) varsa, ya o adam diğerinin atasıdır, ya da diğeri onu atasıdır, ama ikisi birden değil.​

Aks2: Eğer bir adam bir diğerinin atası ise bunlar ayni kişi olamazlar...vb.​

​

Bu modelde doğru önermeler olarak teoremler ve ayrıca tanımlar aşağıdaki gibi ifade edilirler:​

​

T1: Eğer bir adam, bir diğerinin (bunlara, sırasıyla kısaca x ve y diyelim) atası ise, y, x'inatası değildir.​

T2: Eğer x, y'nin atası ve z de bu dört adamdan biri ise, ya x, z'nin atasıdır veya z, y'nin atasıdır.​

T3: K'de, K'deki kimsenin atası olmayan en az bir adam vardır.​

T4: K'de, K'deki kimsenin atası olmayan sadece bir adam vardır.​

D1: Eğer y, x'in atası ise, x'in y'nin soyundan olduğunu söylüyoruz.​

T5: Eğer x, y'nin soyundan ve y de z'nin soyundan ise, x de z'nin soyundandır.​

D2: Eğer x, y'nin atası ise ve x'in, onun atası olduğu bir z yok ise ve aynı şekilde y'nin atası olan bir z yok ise, x, y'nin babasıdır diyoruz.​

T6: Bir adamın en fazla bir babası vardır.​

T7: Eğer x, y'nin babası ve y de z'nin babası ise, x, z'nin babası değildir.​

D3: Eğer x, b'nin babası ve y de z'nin babası ise, x, z'nin büyükbabasıdır.​

​

İkinci modelimiz geometri olsun. Bu modelde K'nın öğeleri (x, y, z,..) yatay bir doğru çizgi üzerindeki dört farklı nokta olsun; R bağıntısını da "...'nin solunda" olarak yorumlayalım. Bu modelde​

Aks1: Eğer x #(eşit değil) y ise, ya x, y'nin solundadır veya y x 'in solundadır, ama ikisi birden değil.​

Aks2: Eğer x y'nin solunda ise, x / y 'dir.​

Aks3: Eğer x y'nin solunda ve y'de z'nin solunda ise, x z'nin solundadır.​

Aks4: K tam dört farklı öğeden oluşur.​

​

Bu modelde elde edilen içerikli aksiyomlar ve teoremler de doğru önermelerdir. Tanımların yorumları ise D1'de S "...nin sağında"; D2'de B "soldaki ilk nokta"; ve D3'de G "soldaki ikinci nokta" olarak verilebilir.​

​

Son modelimiz aritmetik olsun. Bu modelde K'nın öğeleri 1, 2, 3, 4 ve R bağıntısını da "...den küçüktür" olarak yorumlayalım. Bu modelin aksiyom ve teoremlerinin de doğru önermeler oldukları kolaylıkla görülebilir. Tanımların yorumları ise D1'de S "...den büyüktür"; D2'de "...den 1 daha küçüktür"; ve D3'de G "...den 2 daha küçüktür"olarak verilebilir.​

​

Tüm bu modellerde ortak olabilecek yorumlarda da bulunabiliriz. Örneğin​

​

Aks1: R K'da belirlenmiştir.​

Aks2: R K'da yansımalı değildir.​

Aks3: R K'da geçişlidir​

T1: R K'da asimetriktir​

T5: S K'da geçişlidir​

T7: B K'da geçişli değildir.​

​

Bu tür ortak yorumlarda bulunmamıza olanak veren husus, bu modellerin eşbiçimli (izomorfik) olmalarıdır; yani ayni saf biçimsel sistemin farklı yorumlarından meydana gelmişlerdir. Terimlerinin farklı anlamlar taşıması nedeniyle çok farklı alanların sistemleri, aslında eşbiçimli olabilirler, dolayısıyla ayni biçimsel yapı içinde incelenebilirler.​

​

Aksiyomatik sistemlerin temel koşulları:​

​

Sağlam bir aksiyomatik sistemin sahip olması gereken üç temel koşul vardır:​

​

(1) Tutarlılık: Eğer bir sistemde, diyelim T bir teorem ise, değil-T bir teorem olamaz. Yani tutarlı bir sistem, birbiriyie çelişen iki önerme içeremez. Bir sistemdeki teoremler, tümüyle aksiyomlarda örtük olanın çıkarım kuralları aracılığıyla belirtik kılınması olduğuna göre, bir sistemde çelişki varsa eğer, bunun kaynağının aksiyomlarda olması gerekir. Çelişki içeren aksiyomlardan ise olanaklı her sonuç (T ve değil-T) türetilebilir. Polonyalı büyük mantıkçı Alfred Tarski, bu bağlamda tutarlılığı, her düzgün oluşturulmuş deyimin teorem olamamasının sağlanması olarak tanımlamıştır. Tutarlılık bir aksiyomatik sistemin en önemli ve en temel koşuludur; deyim yerindeyse aksiyomatik sistemlerin varlık koşuludur.​

​

Tamlık (Eksiksizlik): Bir aksiyomatik sistemde, düzgün oluşturulmuş ve birbirleriyle çelişik olan iki önermeden birinin kanıtlanması gerekir. Yani bir önerme ya teoremdir ya da değildir. Bu koşulun yerine geldiği aksiyomatik sistemler, tam veya eksiksiz sistemlerdir.​

​

Aksiyomların Bağımsızlığı: Sistemin aksiyomlarının birbirlerinden bağımsız olması demek, hiçbir aksiyomun diğer aksiyomlarından türetilerek kanıtlanamaması demektir. Eğer kanıtlanabiliyorsa o zaten aksiyom değil, sistemin teoremlerinden biri demektir.​

​

Aksiyomatik Yöntemin Kısa Tarihi:​

​

Tarihsel olarak ilk aksiyomatik sistem Eukleides geometrisidir, Eukleides (İ.Ö. 300-275), kendisinden önce Thales, Pythagoras, Theudius gibi filozof ve matematikçilerin çalışmalarını da kapsayacak şekilde döneminin tüm geometri bilgisini ayni çatı altında toplayarak sistemleştirmiştir, Eukleides, Elemanlar adli kitabında yukarıda aksiyomatik sistemlerin genel özellikleri olarak verdiğimiz adımların ilkörneğini gerçekleştirmiştir. Eukleides, 13 kitaptan oluşan bu toplamda sadece geometriye ait olmayan 465 teorem kanıtlamaktadır. Eukleides, kitabına tanımlarla başlar (Eukleides'te ilksel terimle tanımlanmış terim arasında açık bir ayrım yapıldığını görmüyoruz; örneğin birinci tanımda "nokta"yı "parçası olmayan" diye tanımlıyor), 5 ortak kabul ("bütün parçasından büyüktür" gibi) ve 5 aksiyom (o dönemde ortak kabullere, yani her bilim için geçerli olanlara "aksiyom", geometri gibi özel bir bilimin ilkelerine pöstüla deniyordu) belirler. Eukleides, Elemanlar'daki teoremleri aksiyomlardan hareketle kanıtlamaktadır. (Ancak Eukleides'in Elemanlar’), kusursuz bir biçimsel sistem değildi; yani bazı teoremler sadece sistemin kendi sınırları içinde kalınarak saf biçimsel yoldan kanıtlanamıyordu, bu yüzden de mekânsal sezgiye örtük olarak başvurulması gerekiyordu).​

​

Eukleides geometrisi, sağlam bir bilimin nasıl kurulabileceğinin yetkin ve başarılı bir örneği olarak hem felsefe, hem de bilimler alanında çok derin etkiler yapmıştır. Sağlam bir bilim idealinin arketipi olarak etkisini sürdürmesinin yani sıra birçok büyük filozof ve bilimadamı için model oluşturmuştur. Örneğin Descartes, Discours de la Methode’daki yöntem arayışında bu ruh karşımıza çıkmaktadır; Spinoza'nın Ethica Ordine Geonıetrico Demonstrata'sı ise tümüyle Elemanlar modeline göre yazılmıştır. Nevvton'un Prim cipin Mathematica'sı da doğadaki çok çeşitli olayları üç temel hareket ve bir kütleçekim yasası altında toplarken bir aksiyomatik sistem kuruyordu.​

​

1820'lerde Eukleidesçi-olmayan geometrilerin ortaya çıkması aksiyomatik sistemler için de bir dönüm noktasıdır. 1820'lere kadar tek aksiyomatik geometri sistemi örneği olan Eukleides geometrisinin içerikli bir aksiyomatik sistem olduğu dikkate alınırsa, onun aksiyomları, dolayısıyla teoremleri doğru önermeler (yani uzay hakkında hem doğru, hem de zorunlu bilgiler içeren önermeler) olarak kabul ediliyordu. Ancak Eukleides geometrisinin önermelerinin doğru olmaları durumunda, Eukleides'in aksiyomlarının (Lobaçevski geometrisinde 5. aksiyomun, Riemann geometrisinde hem 5, hem de 2. aksiyomun) değilini kabul ederek kurulan Eukleidesçi-olmayan geometriler, doğru önermeler içeremezlerdi. Ancak Eukleidesçiolmayan geometrilerin de, Eukleides geometrisi kadar sağlam ve tutarlı olduklarının ortaya konulması, filozofların, mantıkçıların ve matematikçilerin bakışlarını geometrinin ve genelde matematiğin doğruluğu anlayışından, onun tutarlılığı anlayışına çevirmelerine neden olmuştur. Bu da, aksiyomatik sistemlerde bakışı, içerikten biçime, dolayısıyla içerikli aksiyomatik sistemden saf biçimsel sistem anlayışına çevirmiştir.​

​

Eukleides geometrisi aksiyomatik bir sistem olmakla birlikte, aksiyomların seçiminde de, bazı teoremlerin kanıtlanmasında da mekânsal sezgi devreye giriyordu. Kant'ta da geometrinin olanağı saf görüye dayanır. Eukleides-dışı geometrilerin ortaya çıkmasıyla geometrinin düşünüldüğü kadar sağlam ve kesin bir temel olmadığının, anlaşılması, matematikçi, mantıkçı ve filozofları daha sağlam temeller arayışına yöneltmiştir. 19. yüzyılın ikinci yarısında temelleri atılan kümeler kuramının uzaysal görüye hiçbir şekilde ihtiyacı yoktur. Böylece görünün ve görüsel olanla bağlantılı olanın matematiğin temellerinden dışlanmaya çalışılması saf biçimsel sistem anlayışının gelişimine yol açmıştır. Modern simgesel mantığın kurucusu olan Gottlob Frege'nin (1848-1925) çalışmaları bu alanda belirleyici olmuştur. Frege, Begriffsschrift'te (1879) geliştirdiği saf biçimsel akil yürütme ilkelerini aritmetiğin temellerine uygulayarak (Aritmetiğin Temel Yasaları 1893/1903), görünün aritmetiğin temellerinden tümüyle dışlanmasını ve aritmetiğin mantığa indirgenmesini amaçlamıştır. Büyük Alman matematikçisi David Hilbert'in 1899'da yayımlanan Die Grundlageıt der Geometric adli kitabı, Eukleides geometrisini (ki bu sistemin biçimsel açıdan kusurlu olduğundan daha önce söz etmiştik) saf biçimsel temeller üzerinde inşa ederek, dolayısıyla bu geometrinin teoremlerini, kanıtlama sürecine görüsel olanı hiç dahil etmeyerek sadece mantıksal zeminde kanıtlayabilmesi aksiyomatik yöntem aracılığıyla peşine düşülen sağlam ve kesin bilgiye ulaşma idealini en uç noktaya taşımıştır.​

​

Daha sonra, Frege'nin sisteminde bir paradoksun ortaya çıkması (Russell paradoksu1902), matematiğin mantığa indirgenmesi programının daha sağlam bir zeminde nasıl gerçekleştirilebileceği sorusunu gündeme getirmiştir. Bertrand Russell ve Alfred North Whitehead'in 1910-1913'te yazdıkları ünlü Principia Mathematica bu amacın ürünüdür. Sadece iki çıkarım kuralını kabul eden ve dört aksiyomu olan Principia sistemi, saf biçimsel aksiyomatik sistemlere verilebilecek en iyi örnektir.​

​

Hilbert'in aksiyomatik sistemleri taşıdığı yetkinlik konumundan ve Principia Mathematical dan sonra ele alınan soru, saf biçimsel aksiyomatik sistemlerin tutarlılığının ve tam (eksiksiz) olduklarının nasıl kanıtlanabileceği sorusuydu.​

​

Bu soruya olumsuz bir yanıt Kurt Gödel'den (1906-1978) geldi. Gödel, Principia Mathematica gibi "kuvvetli", yani tüm aritmetiği İçerecek bir karmaşıklık derecesinde olan tüm aksiyomatik sistemlerde, öyle önermeler olduğunu ortaya koymuştur ki, ne önermenin kendisi, ne de mantıksal değillemesi kanıtlanabilirdir; yani bu tür sistemler tam değildir. Dahası, bu tür sistemler, ne kadar tamlık koşulunun yerine gelmesi amacıyla elden geçirilirlerse geçirilsinler, tam olmamaya, yani eksikli olmaya mahkumdurlar. Tam olmama, bu tür sistemlerin yapısal bir özelliğidir. Bu Gödel'in birinci teoremidir. Gödel, ikinci teoreminde de, Principia Mathematica gibi bir sistemin tutarlılığının, o sistemin içinde kanıtlanamayacağını kanıtlamıştır. Gödel'in iki teoremi de, yukarıda ele alınan şekilde kurulmuş olan tüm biçimsel aksiyomatik sistemlerin içsel sınırlılıkları olduğunu ortaya koymuştur.​

​

P. Benacerraf, Philosophy of Mathematics: Selected Readings, Pr. Halt, 1964.​

​

Bourbaki N., L'architecture des Mathematiques, Les grands cowants de la pensee mathematiqw (edt. F. Le Lionnais), Cahicrs du Sud, 1948.​

​

R. Blanche, Axiomatics(çev. G. B. Kene), Routledge & KeganPaul. London 1966.​

​

H. Eves & C.V, Newsom, An Introduction to the Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics, I-Iolt, Reinhart and Winston, New York, 1965​

​

T. L. Heath, The Thirteen Books of Ettdlid's Elements, 3 cilt, Dover Pub. New York, 1956.​

​

J. V. Heijenoort, From Frege to Gödel: A source Book in Mathematical Logic, Harvard Un. Press, 1977.​

​

E. Nagel & J. R. Newman, Gödel famitlaması(çev.Bülent Gözkân), Sarmal Yay., İstanbul, 1994.​

​

A. Tarski, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Science, Oxford Un. Pr.,1946.​

​

Ayrıca bkz., ALGORİTMA, EUKLEİDES GEOMETRİSİ, EUKLEİDESÇİ-OLMAYAN GEOMETRİLER, FORMALİZM, FORMEL BİLİMLER, FORMEL BİR SİSTEMİN YAPISI, FORMEL MANTIK, FORMELLEŞTİRME, FREGE, GEOMETRİ, GÖDEL, HİLBERT, MANTIK, MATEMATİK, MATEMATİK FELSEFESİ, RUSSELL,​

​

Felsefe Ansiklopedisi / Etik Yayınları​