- Mesajlar
- 1,941
Aritmetik, doğal sayılara —0,1, 2, 3, 4, ...'e— ilişkin bir araştırmadır. Aritmetik için bir temel birbirleriyle yakından ilişkili üç ilgiye, sırasıyla katı ve dakik aksiyomatikleştirmeye dönük bir ilgiye, sayılara ilişkin bilgimizin kaynağına ve haklı kılınmasına yönelik epistemolojik bir ilgiye ve sayıların doğasına dönük ontolojik bir ilgiye hizmet edebilir.
Dedekind ve onu izleyen Peano, doğal sayılar dizisi kavramını analiz edip, aritmetik için, günümüzde, biraz da haksız bir biçimde Peano aksiyomları olarak bilinen, aksiyomatik bir temel formüle etmişti. Aksiyomatik bir temelin gerisindeki düşünce, az sayıda mantıksal olmayan ilkel terim kullanmak suretiyle ifade edilen ve kendilerinden başka tümcelerin türetilebileceği birkaç aksiyom ortaya koymaktır. Kullanılan ilkel terimler "0" (0 doğal sayıdır), "ardışık" (0’ın ardışığı 1, l'in ardışığı 2'dir, vs) ve "doğal sayı" olup, beş aksiyom da şunlardır:
0 bir doğal sayıdır.
Bir doğal sayının ardışığı bir doğal sayıdır.
Hiçbir iki doğal sayı aynı ardışığa sahip olamaz.
0 bir doğal sayının ardışığı değildir.
Bir P özelliği için, (i) 0 P'ye sahipse, ve (ii) P'ye sahip olan bir doğal sayının ardışığı da P'ye sahipse, bu takdirde her doğal sayı P'ye sahip olur (matematiksel tümevarım ilkesi).
Bu informel aksiyomatik temel, aritmetiksel doğruları ekonomik bir sistem içinde düzenleyip, sistematik bir şekle sokar. O aksiyomların pekin ve dakik kanıtlamalar aracılığıyla kendisinden teoremlerin türetilebileceği formel bir dile çevrilmesi suretiyle, formelleştirilebilir.
Aritmetiksel doğrulara ilişkin bilgimiz nasıl açıklanmak durumundadır? Aksiyomatik bir temel buna kısmî bir yanıt temin eder; Aksiyomların bilindikleri varsayıldığında, o zaman teoremlerin bilgisi aksiyomların mantıksal vargılarına ilişkin mantıksal bilgi olur. Burada öne çıkan en önemli soru şudur: Aksiyomları nasıl biliyoruz? Eukleidesçi paradigmaya göre, aksiyomları, onlar kendilerinden açık oldukları için biliyoruz, bununla birlikte kendinden açıklık yargıları çok kaydadeğer bir biçimde hatalı veya yanılabilir oldukları için, bu tatmin edici bir yanıt değildir. Nitekim, Frege doğrudan doğruya kendinden açıklığa başvurmak yerine, mantıkçılığını geliştirmiştir. Mantıkçı projenin üç unsuru vardır: Aritmetiğin vokabülerinı sadece mantığın vokabüleriyle tanımlama, doğal sayıları "mantıksal nesnelerle" özdeşleştirme ve Peano'nun aksiyomlarını mantıksal aksiyomların mantıksal vargıları olarak türetme. Şu halde, mantıkçı proje aritmetiksel doğruya ilişkin bilgiyi, Frege'nin kendinden açık olduklarına inandığı mantıksal aksiyomların bilgisine dayandırır. Bu açıklama, Frege'nin mantığının geçersiz olduğunu gösteren ve yirminci yüzyılın ilk çeyreğinde sıkı temelci araştırmayı bir şekilde başlatan Russell Paradoksuyla geçersiz hale gelmiştir.
Aritmetik için epistemolojik bir temel düşüncesinin kendisi sorgulanabilir bir düşüncedir; söz gelimi, "2+2"nin "4" ettiği,
"2+2=4"ün kendisinden çıkarsanabileceği, mantığın herhangi bir kapalı veya anlaşılması pek de kolay olmayan aksiyomlar kümesinden veya küme kuramından çok daha açık ve kesindir. Oysa, aritmetiğin ontolojik temeline ilişkin bir açıklama veya yorum öyle değildir; onun zorlayıcı bir tarafı vardır. Hemen daha ilk bakışta, aritmetiksel doğruların nesnelerle —sayılarla— ilgili doğrular oldukları görülür. Onlar —sayılar— ne tür nesnelerdir? Ne fizikî nesneler ne de zihinsel nesneler gibi görünmektedirler, çünkü bunlardan sayılar olma işlevi görecek yeterincesi olmayabilir ve çünkü onlar fizikî ya da zihinsel nesnelerin tersine, zorunlu varolanlardır. Dolayısıyla, onlar Platoncunun bizim inanmamızı sağlayacağı şekilde, soyut kendilikler gibi görünmektedir. Onlar her iki durumda da nedensel güce sahip olmayacak şekilde ya stü generis bir dizidir ya da kümeler gibi daha geniş kapsamlı bir nesne türünden türetilmiş nesnelerdir. Bugünlerde epistemolojik problemler soyut nesnelere ilişkin bilgimizin nasıl mümkün olduğunun üzerinde uzlaşmaya varılmış bir açıklaması olmadığı için, yeniden su yüzüne çıkmaktadır.
P. Benacerraf H. Putnam(eds), Philosophy of Mathematics, 2nd edit. Cambridge, 19S3.
G. Frege, The Foundations of Arithmetic(tr. J. L. Austin), 2nd edit., Oxford, 1953.
I. Lakatos, "Infinite Regress and the Foundations of Mathematics", Science and Epistemology(eds. ). Warral G. Currie), Cambridge, 1978.
Ayrıca bkz., AKSİYOMATİK SİSTEM, DEDEKIND, EPİSTEMOLOJİ, FREGE, MATEMATİK FELSEFESİ, MATEMATİK FELSEFESİNİN PROBLEMLERİ, PLATON, RUSSELL.
Felsefe Ansiklopedisi / Etik Yayınları